Placera yoghurt och ägg i skålen på en hushållsassistent med paddeln. Tillsätt ca ⅔ av mjölet med salt och bakpulver, och blanda ihop.
Tillsätt smöret och resten av mjölet och blanda igen. Ta bort skålen från mixern, och knåda degen för hand i ungefär en minut. Täck med plastfolie, och ställ kylskåp i 30 minuter.
Dela degen i två. Värm ugnen till 225°C och placera en skål full med vatten på botten.
Smula ner feta och mozzarella i en skål. Krydda med svartpeppar, och justera salthalten om det behövs, blandningen ska smaka ganska salt, men ändå vara ätligt!
Rulla varje boll av degen i en 20 cm stor skiva på en mjölad yta (det är inte nödvändigt att göra en perfekt rund form). Placera ostblandningen i mitten, sedan linda degen runt det, som om du skulle slå in något i en näsduk. Vänd på degen, och rulla försiktigt varje Khachapuri tillbaka till en 20 cm stor skiva.
Överför Khachapuri till en plåt med bakplåtspapper. Pensla degen med en vispad äggula.
Grädda i ugnen i 18-20 minuter, tills toppen är gyllenbrun. Låt svalna 5 minuter, sedan skär upp och servera.